Il problema era: « In un villaggio vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade tutti e soli gli uomini del villaggio che non si radono da soli.
Raggruppiamo tutti gli uomini di quell’isola in due insiemi:
- Insieme A degli uomini che si radono da soli
- Insieme B degli uomini che non si radono da soli
Perciò il nostro barbiere rade tutti e soli gli uomini dell’insieme B, cioè quelli che non si radono da soli.
Ma il nostro barbiere abita in quell’isola perciò deve necessariamente appartenere ad uno dei due insiemi:
- Se appartiene all’insieme A, il barbiere rade se stesso. Ma ciò non è possibile in quanto, secondo la definizione, il barbiere rade solo coloro che non si radono da soli;
- Se appartiene all’inieme B, il barbiere non rade se stesso. Ma anche questo va contro le nostre ipotesi: dato che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da sé, dovrebbe radere anche se stesso.
Non esiste una soluzione, quello che abbiamo davanti agli occhi è uno dei paradossi più famosi della logica matematica.
Si chiama paradosso di Russel. L’esempio col barbiere è anch’esso molto famoso, tanto famoso che certe volte il paradosso di Russel è detto “Paradosso del barbiere”. La versione col barbiere è solo una particolarizzazione di un problema più generale di insiemistica matematica.
[Etimologia:] Paradosso, deriva dal greco παρα (contro) e δόξα (opinione), e vuol dire che a partire da premesse presumibilmente accettabili siamo arrivati ad una soluzione inaccettabile.