«Vivi come se dovessi morire domani. Impara come se dovessi vivere per sempre…»


Paradosso di Achille e la tartaruga

Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il più famoso dei Paradossi di Zenone.

La corsa della tartaruga:

Una delle descrizioni più famose del paradosso è quella dello scrittore argentino Jorge Luis Borges:

“Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla.”


Le soluzioni del paradosso

La confutazione più immediata è quella del filosofo Diogene di Sinope, che silenziosamente si mise a camminare davanti a chi gli ricordava gli argomenti di Zenone contro il movimento.

Secondo Aristotele, invece, il tempo e lo spazio sono divisibili all’infinito in potenza, ma non sono divisibili all’infinito in atto. Una distanza finita (che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite) è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si comporta di parti finite e può essere percorsa.

Da un punto di vista matematico la spiegazione sta nel fatto che gli infiniti intervalli impiegati ogni volta da Achille per raggiungere la tartaruga diventano sempre più piccoli, ed il limite della loro somma converge, per le proprietà delle serie geometriche. Una somma di infiniti elementi o, più precisamente, il limite di una somma di infiniti elementi non è necessariamente infinito. Prendiamo ad esempio la somma di tutte le frazioni che si possono ottenere dimezzando ogni volta un intero:

La somma di tutti questi elementi è sempre inferiore ad uno. Arrivati all’elemento numero n, la somma sarà pari ad uno meno la frazione di ordine n. Arrivati ad esempio al terzo elemento, la somma sarà uguale a sette ottavi, pari ad uno meno un ottavo (un mezzo elevato alla terza). Arrivati al decimo elemento, la somma sarà uno meno un milleventiquattresimo (un mezzo elevato alla decima; infatti due elevato alla decima potenza è 1024). Da un punto di vista matematico, si può affermare che il limite di questa somma di infiniti termini è uno.

Un altro approccio considera il significato fisico degli intervalli spaziali, le cui dimensioni dopo pochi passaggi sono estremamente ridotte. Secondo la meccanica quantistica, infatti, non ha senso considerare intervalli più piccoli di una determinata dimensione.

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